TEOREMA DE PITÁGORAS

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. a2 + b2 = c2

Cada uno de los sumandos, representa el área de un cuadrado de lado, a, b, c. Con lo que la expresión anterior, en términos de áreas se expresa en la forma siguiente:

El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

DEMOSTRACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

A lo largo de la historia han sido muchas las demostraciones y pruebas que matemáticos y amantes de las matemáticas han dado sobre este teorema. Se reproducen a continuación algunas de las más conocidas.

DEMOSTRACIONES GEOMÉTRICAS

PITÁGORAS.

Una de las demostraciones geométricas mas conocidas, es la que se muestra a continuación, que suele atribuirse al propio Pitágoras. A partir de la igualdad de los triángulos rectángulos es evidente la igualdad a2 + b2 = c2

PLATÓN.

La relación que expresa el teorema de Pitágoras es especialmente intuitiva si se aplica a un triángulo rectángulo e isósceles. Este problema lo trata Platón en sus famosos diálogos.

EUCLIDES.

La relación entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, aparece ya en los Elementos de Euclides.  Elementos de Euclides. Proposición I.47. En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto. Para demostrarlo, Euclides construye la figura que se representa a la derecha. La prueba que da Euclides consiste en demostrar la igualdad de las áreas representadas en el mismo color.

6 prismas

¿Qué es un Prisma?

Un Prisma son poliedros que tienen:

• dos caras paralelas; que son polígonos y se llaman bases

• el resto de las caras que son paralelogramos y son las caras laterales.

Clases de prismas:

• Prismas regulares: sus bases son polígonos regulares.

• Prismas irregulares: sus bases son polígonos irregulares.

• Prisma recto: cuando las caras laterales son perpendiculares a la base, son cuadrados o rectángulos.

• Prisma oblicuo: las caras laterales no son perpendiculares a las bases, las caras laterales son rombos o romboides.

• Paralelepípedo: es un prisma de seis caras todas ellas paralelogramos.

ya con esto podemos afirmar:

que un prisma es Un prisma, en geometría, es un poliedro que consta de dos caras iguales y paralelas llamadas bases, y de caras laterales que son paralelogramos.

En el caso en que las caras laterales sean rectangulares, se llama prisma rectangular. El prisma rectangular o cuboide, y el prisma octagonal se encuentran entre los tipos de prisma recto, con una base rectangular y octagonal, respectivamente.

El volumen de un prisma recto es el producto del área de una de las bases por la distancia entre ellas (altura).

6.1-

Área de prismas rectos

Desarrollo de un prisma recto

El desarrollo plano de un prisma recto está compuesto por un rectángulo y los dos polígonos que forman las bases. Uno de los lados del rectángulo coincide con el perímetro de la base, y el otro, con la altura del prisma.

El área lateral (área del rectángulo) es igual al perímetro de la base por la altura:

A_L = P_B · h

El área total es la suma del área lateral y el área de las bases:

A_T = A_L + A_Bases = P_B · h + 2A_B

_{6.2-  problemas sobre áreas y volúmenes de un prisma}

_6.2.1

_{Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, de una habitación que tiene 5 m de largo, 40 dm de ancho y 2500 mm de alto.}

              
  

6.3

pirámides

La pirámide regular es un cuerpo geométrico limitado por un polígono regular, llamado base, y por tantos triángulos como lados tenga la base.
    Se nombran diciendo PIRÁMIDE y el nombre del polígono de la base. (Ejemplo: Pirámide cuadrangular).
  

6.3.1  ecuaciones para calcular área y volumen de un pirámide 

  Podemos hallar el área lateral , área total y volumen de este cuerpo geométrico.

ÁREA LATERAL           LA= P * A /2                           

(Es decir, es área lateral es igual al perímetro del polígono de  la base multiplicado por  la altura de una cara lateral ( a ) de la pirámide y dividido entre 2) 

ÁREA TOTAL                AT= AL + AB

(Es decir, el área total es igual al área lateral mas el área del polígonos de la base) 

VOLUMEN                      V= AB * H / 3

(Es decir, el volumen es igual al área del polígono de  la base multiplicado por la altura ( h ) de la pirámide y dividido entre 3)

6.3.2

problema de una piramide de area y volumen 

Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide cuadrangular de 10 cm de arista básica y 12 cm de altura.

TRIANGULOS

TRIANGULO EQUILATERO

ESTE POSEE  3 LADO, 3 ANGULOS Y 3 VERTICES

TRIANGULO  ISOCELES

POSEE  2 LADOS IGUALES  DIFERENTES A LA BASE AL IGUAL  A SUS ANGULOS Y VERTICES.

TRIANGULO  OBTUSANGULO

ES EL TRIANGULO QUE TIENES UNO DE SUS ANGULOS MAYOR A 90º

TRIANGULO  OCUTANGULO

ESTE TRIANGULO TIENE TODOS SUS ANGULOS  MENORES A 90º Y SU VES TODOS SON DIFERENTES

TRIANGULO  RECTANGULO

ESTE TRIANGULO POSEE UN ANGULO IGUAL  A 90º

TRIANGULO ESCALENO

TODOS SUS LADOS, ANGULOS Y  VERTICES SON DISTINTOS

POLIGONOS

Es una figura plana que esta limitada por una curva cerrada, compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se intersectan se llaman vértices.

En geometría, un polígono es una figura plana que está limitada por una curva cerrada, compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se intersecan se llaman vértices. El interior del polígono es llamado a veces su cuerpo.

§  Lado, L: es cada uno de los segmentos que conforman el polígono.

§  Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos.

§  Diagonal, D: segmento que une dos vértices no contiguos.

§  Perímetro, P: es la suma de todos sus lados.

§  Semiperímetro, SP: es la mitad de la suma de todos sus lados (mitad del perímetro).

§  Ángulo interior, AI: es el formado por los lados consecutivos; este se determina restando de 180 grados sexagesimales el ángulo central.

§  Este se determina dividiendo 360º por el número de lados del polígono.

§  Ángulo central y Ángulo exterior, AC y AE: es el formado por los segmentos de rectas que parten del centro a los extremos de un lado; este se calcula dividiendo 360º por el número de lados del polígono, y el ángulo externo es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo o podemos aplicar 180º - ángulo interno.

En un polígono regular podemos distinguir, además:

§  Centro, C: el punto equidistante de todos los vértices y lados.

§  Apotema, a: segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es perpendicular a dicho lados

DATOS SOBRE LA GEOMETRIA

Geometría (del griego geo, 'tierra'; metrein, 'medir'), rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. En su forma más elemental, la geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos. Otros campos de la geometría son la geometría analítica, geometría descriptiva, topología, geometría de espacios con cuatro o más dimensiones, geometría fractal, y geometría no euclídea.

Primeros problemas geométricos

Los griegos introdujeron los problemas de construcción, en los que cierta línea o figura debe ser construida utilizando sólo una regla de borde recto y un compás. Ejemplos sencillos son la construcción de una línea recta dos veces más larga que una recta dada, o de una recta que divide un ángulo dado en dos ángulos iguales.

Arquímedes,Inventó formas de medir el área de ciertas figuras curvas así como la superficie y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas, como paraboloides y cilindros. También elaboró un método para calcular una aproximación del valor de pi, la proporción entre el diámetro y la circunferencia de un círculo y estableció que este número estaba entre 3 10/70 y 3 10/71.

Geometría analítica

La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media.fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento de la geometría analítica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la geometría moderna.

CONCEPTOS

RECTA:

ES UNA LINEA QUE NO TIENE INICIO NI FINAL

SEGMENTO:

EL UNA LINEA RESTRINGIDA O LIMITADA  POR DOS PUNTOS (A-B)

SEMIRECTA:

ES UNA LINEA QUE TIENE INICIO PERO NO FINAL

RECTA PERPENDICULAR:

SON DOS RECTAS QUE AL CRUSARSE FORMAN UN ANGULO DE 90 GRADOS

RECTAS PARALELAS:

SON DOS RECTAS QUE POR SU POSICIÓN NUNCA PODRÁN CRUSARSE

MEDIATRIZ:

 ES UN SEGMENTO DE RECTA QUE PASA POR UN PUNTO MEDIO

BISECTRIZ:

ES UNA LINEA QUE PASA POR LA MITAD DE UN ANGULO

ÁNGULOS

Angulo nulo

Angulo agudo

Angulo recto

Angulo obtuso

Angulo llano

Angulo oblicuo

Angulo  completo